공학설계 | 견실최적설계(3): 민감도 분석

1. 공학설계

2. 제품기획

• 2.1. 요구사항목록

3. 개념설계

• 3.1. 설계문제와 기능구조도
• 3.2. 동작원리와 설계대안

4. 기본설계

• 4.1. 시제품 레이아웃과 공학해석
• 4.2. 견실최적설계
  • 4.2.1. 문제 정의
  • 4.2.2. 제1차 실험 설계 및 수행
  • 4.2.3. 민감도 분석 ★

5. 상세설계

• 5.1. 제작도면과 자재소요서

 

1. 민감도 분석

제1차 실험 결과

   Larger-the-better 설계목표 기능변수에 대하여 위와 같은 실험 결과를 얻었다면, 실험 결과로부터 도출한 S/N비를 기반으로 각 설계변수의 민감도를 분석하고 S/N비를 최대로 만드는 탐색 방향을 결정한다. 위 실험 결과에 따르면, 조합번호 5번과 8번에 대해서 S/N비가 37.2 dB로 가장 크게 나타났다. 이는 각각 설계변수 조합 [2, 2, 3, 1]과 [3, 2, 1, 3]에 대응된다.

 

민감도 분석

  민감도를 관찰하기 위해 각 설계변수별로 수준1, 수준2, 수준3에서의 S/N비 평균값을 계산하여 그림으로 나타내면 위 그림과 같다. 민감도 분석 결과를 기반으로 S/N비를 최대로 만드는 설계변수 조합을 빨간색 원으로 표시하여 나타내면 [3, 2, 2, 3]에 해당한다. 또한 각 설계변수별로 S/N비의 최대값과 최소값을 비교하였을 때 설계변수 1과 2는 다른 두 설계변수에 비해 민감도가 높은 변수라는 것을 알 수 있다. 앞선 실험에서는 해당 조합으로 실험하지 않았기 때문에 추가로 실험하여 조합번호 5번과 8번에 비해 더 높은 S/N비가 도출되는지 관찰한다. 실험하기에 앞서 아래 식을 이용하면 해당 설계변수 조합에서 S/N비의 값을 추정할 수 있다. 해당 식에서 T는 모든 S/N비의 평균값을 의미하며, 설계변수 A가 수준 i, B가 수준 j, C가 수준 k, D가 수준 p일 때 S/N비 평균값을 각각 대입하면 해당 설계변수 조합에서 S/N비의 최대값 또는 최소값을 추정할 수 있다.

 

$$ \begin{align} \widehat{SN} = \overline{T} + \left(\overline{A}_{i}-\overline{T}\right) + \left(\overline{B}_{j}-\overline{T}\right) + \left(\overline{C}_{k}-\overline{T}\right) + \left(\overline{D}_{p}-\overline{T}\right) \end{align}$$

 

   위 식을 기반으로 설계변수 조합 [3, 2, 2, 3]에서의 S/N비를 추정하면 아래와 같다. 조합번호 5번과 8번에 해당하는 S/N비 37.2 dB보다 설계변수 조합 [3, 2, 2, 3]에서 더 높은 S/N비가 도출될 것으로 기대할 수 있다.

 

$$ \begin{align} \widehat{SN} &= 35.3 + \left(36.1-35.3\right) + \left(36.6-35.3\right) + \left(35.8-35.3\right) + \left(35.7-35.3\right) \\\\ &= 38.3 \end{align}$$

 

2. 설계변수 탐색 범위 갱신

설계변수 탐색 범위 갱신

   최적점에 도달하기 위해 제1차 실험 결과를 기반으로 제2차 실험을 설계한다. 이때 민감도가 낮은 설계변수는 실험에 포함하지 않고 S/N비를 최대로 만드는 수준으로 고정한다. 민감도가 상대적으로 높은 설계변수에 대해서 탐색 범위를 갱신한다. 설계변수 1은 양의 방향으로 갈수록 S/N비가 상승하는 추세를 보이므로, 해당 방향으로 설계변수를 탐색하기 위해 수준 3을 수준 1로 갱신하고 해당 방향을 따라 수준 2와 수준 3을 설정한다. 이때 탐색 범위의 크기는 이전 실험보다 작게 결정한다. 설계변수 2는 초기값으로 향할수록 S/N비가 상승하는 추세를 보이므로, 해당 수준의 주변부를 정밀하게 탐색한다.

 

3. 제2차 실험 설계 및 수행

견실최적설계 제2차 실험계획서

   설계변수 탐색 범위를 갱신했다면 제1차 실험과 동일한 과정을 거쳐 최적점 탐색을 반복한다. 설계변수 수준의 개수와 설계변수 개수에 따라 적절한 수직행렬을 선택하고, 수직행렬을 중심으로 실험계획서를 작성한다. 사용환경을 재현하는 설비 내에서 각 사용환경을 재현한 뒤 실험을 수행하여 측정값과 S/N비를 기입한다. 실험 결과를 기반으로 설계변수별로 민감도를 분석하여 최적점 도달 여부를 가늠한다. 해당 과정은 설계변수가 최적점에 도달했다고 판단할 때까지 반복한다. 이와 같은 과정을 반복하는 다구치 방법론은 실험과 통계 기반의 최적화 방법 중 하나로, 원리 자체는 최속강하법과 동일하다. 그러나 최속강하법은 목적함수가 수학적으로 모델링 되어 있어 알고리즘으로 시뮬레이션이 가능한 반면에, 다구치 방법론에서 다루는 목적함수는 모델링 되어 있지 않거나 모델링 하기 어려워 실험을 통해 목적함수의 값을 측정하여 최적점을 탐색한다.

 

4. Nominal-the-best 견실최적설계

Nominal-the-best 견실최적설계

   Smaller-the-better와 Larger-the-better 설계목표 기능변수를 다루는 경우에는 앞서 소개한 방법을 따르면 사용환경에 견실한 최적점에 도달할 수 있다. 그러나 Nominal-the-best 설계목표 기능변수의 경우에는 S/N비를 최대화하더라도 오차의 편차가 최소화될 뿐, 오차가 목표값인 0에 근접하지는 않는다. 따라서 앞선 방식과 동일하게 S/N비를 최대화하고, 측정값을 목표값에 근접시키는 작업을 추가로 수행한다.

 

Nominal-the-best 견실최적설계 실험계획서

   오차를 0으로 근접시키는 단계는 S/N비를 최대화하여 오차의 편차를 최소화한 상태에서 시작한다. 설계변수 조합별로 오차의 평균을 계산하여 오차에 대한 민감도 분석을 수행한다. S/N비와 오차에 대한 민감도 분석 결과를 비교하여, 설계변수 중에서 S/N비에는 둔감하면서도 오차에는 민감한 변수들을 분류한다. 분류한 설계변수들 중 오차에 가장 민감한 변수만을 조정하여 오차를 0에 근접시킬 수 있도록 나머지 설계변수들은 오차를 가장 작게 만드는 수준으로 고정한다. 마지막으로 남은 설계변수를 조정하기 위해 아래 식에서 해당 설계변수에 대응되는 항만 미지수로 두고 풀이한다. 이때 오차 추정값은 0을 목표로 하므로 좌변에는 0을 대입한다.

 

$$ \begin{align} \widehat{e} &= \overline{e} + \left(\overline{A}_{i}-\overline{e}\right) + \left(\overline{B}_{j}-\overline{e}\right) + \left(\overline{C}_{k}-\overline{e}\right) + \left(\overline{D}_{p}-\overline{e}\right) \\\\ &= 0 \end{align}$$

 

   위 방정식을 풀이하면 오차가 0에 근접한 상태에서 해당 설계변수가 가져야할 오차값의 평균을 알 수 있다. 앞선 실험에서 해당 설계변수의 수준별 오차 정도를 확인한 뒤 선형 보간을 수행하여 오차값에 해당하는 수준값을 도출한다. 이로써 모든 설계변수가 고정되었으므로 해당 설계조합을 대상으로 실험을 수행하여 S/N비는 최대가 되는지, 오차값은 0에 근접하는지 확인한다.

 
 
 
 

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참고문헌
- 김종원. (2008). 공학설계: 창의적 신제품 개발방법론. 문운당.

- Peace, G. S. (1993). Taguchi methods: a hands-on approach. Addison-Wesley.