기구학 | 벡터와 복소수를 이용한 대수적 위치 해석

1. 벡터와 복소수를 이용한 대수적 위치 해석

   삼각함수를 이용해 링크들의 위치를 대수적으로 나타내는 방법 외에, 벡터와 복소수를 이용해 나타내는 방법도 있다. 크기 R, 방향 θ를 가진 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R}&=Re^{j\theta}\\\\ &=R\cos\theta+jR\sin\theta \end{align} $$

 

2. 예제

 

[예시1] 슬라이더-크랭크 기구

 

슬라이더-크랭크 기구

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력각 θ₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 그림과 같이 정의한 링크 벡터를 복소수를 이용해 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{2}}&=r_{2}e^{j\theta_{2}}\\\\ &=r_{2}\cos\theta_{2}+jr_{2}\sin\theta_{2}\\\\ \overrightarrow{R_{3}}&=r_{3}e^{j\theta_{3}}\\\\ &=r_{3}\cos\theta_{3}+jr_{3}\sin\theta_{3}\\\\ \overrightarrow{R_{1}}&=de^{j\frac{3}{2}\pi}\\\\ &=d\cos\frac{3}{2}\pi+jd\sin\frac{3}{2}\pi\\\\ &=-jd\\\\ \overrightarrow{R_{4}}&=r_{4}e^{j0}\\\\ &=r_{4} \end{align} $$

 

   위 그림과 같은 벡터에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} &\overrightarrow{R_{2}}+\overrightarrow{R_{3}}=\overrightarrow{R_{1}}+\overrightarrow{R_{4}}\\\\ &\left ( r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\theta_{3} \right ) + j\left ( r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\sin\theta_{3} \right )=r_{4}-jd \end{align} $$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\theta_{3}&=r_{4}\\\\ r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\sin\theta_{3}&=-d \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터 θ₃를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \sin\theta_{3} &= \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}-d}{r_{3}}\\\\ \theta_{3} &= \arcsin\left ( \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}-d}{r_{3}} \right ) \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터  r₄를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{4}&=r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\left ( \arcsin\left ( \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}-d}{r_{3}} \right ) \right )\\\\ &= r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\sqrt{1-\left ( \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}-d}{r_{3}} \right )^{2}} \end{align} $$

 

[예시2] 크랭크-로커 기구

크랭크-로커 기구

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력각 θ₂이 주어졌다고 가정하자. 그림과 같이 정의한 링크 벡터를 복소수를 이용해 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{2}}&=r_{2}e^{j\theta_{2}}\\\\ \overrightarrow{R_{3}}&=r_{3}e^{j\theta_{3}}\\\\ \overrightarrow{R_{1}}&=r_{1}e^{j0}\\\\ &=r_{1}\\\\ \overrightarrow{R_{4}}&=r_{4}e^{j\theta_{4}}\\\\ \overrightarrow{R_{s}}&=r_{s}e^{j\theta_{s}} \end{align} $$

 

   위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R_s에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{1}}-\overrightarrow{R_{2}}&=\overrightarrow{R_{s}}\\\\ r_{1}-r_{2}e^{j\theta_{2}}&=r_{s}e^{j\theta_{s}}\\\\ \end{align} $$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2} &= r_{s}\cos\theta_{s}\\\\ -r_{2}\sin\theta_{2} &= r_{s}\sin\theta_{s} \end{align} $$

 

   연립방정식을 거듭제곱하여 더하면 r_s를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} r_{1}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}^{2}\cos^{2}\theta_{2} &= r_{s}^{2}\cos^{2}\theta_{s}\\\\ r_{2}^{2}\sin^{2}\theta_{2} &= r_{s}^{2}\sin^{2}\theta_{s}\\\\ \\\\ r_{1}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}^{2}\left(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2}\right)&=r_{s}^{2}\left(\cos^{2}\theta_{s}+\sin^{2}\theta_{s}\right)\\\\ r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}&=r_{s}^{2} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} r_{s}=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}} \end{align} $$

 

   연립방정식을 나누면 θ_s를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}}{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}&=\frac{r_{s}\sin\theta_{s}}{r_{s}\cos\theta_{s}}\\\\ &=\tan\theta_{s} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \theta_{s}=\arctan\left( \frac{-r_{2}\sin\theta_{2}}{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}} \right) \end{align} $$

 

   다음으로, 위 그림에서 벡터 R₃, R₄, R_s에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{3}}-\overrightarrow{R_{4}}&=\overrightarrow{R_{s}}\\\\ r_{3}e^{j\theta_{3}}-r_{4}e^{j\theta_{4}}&=r_{s}e^{j\theta_{s}}\\\\ r_{3}e^{j\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right)}-r_{4}e^{j\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)}&=r_{s} \end{align} $$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{3}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) - r_{4}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right) &= r_{s}\\\\ r_{3}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) - r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right) &= 0 \end{align} $$

 

   연립방정식을 적절하게 변형해 거듭제곱하여 더하면 θ₃을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} r_{3}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) - r_{s} &= r_{4}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ r_{3}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ \\\\ r_{3}^{2}\cos^{2}\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) + r_{s}^{2} - 2r_{3}r_{s}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}^{2}\cos^{2}\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ r_{3}^{2}\sin^{2}\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}^{2}\sin^{2}\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ \\\\ r_{3}^{2}+r_{s}^{2}-2r_{3}r_{s}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}^{2}\\\\ \cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= \frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}+r_{s}^{2}}{2r_{3}r_{s}}\\\\ \theta_{3}-\theta_{s} &= \pm\arccos\left(\frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}+r_{s}^{2}}{2r_{3}r_{s}}\right) \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \theta_{3} &= \theta_{s} \pm \arccos\left(\frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}+r_{s}^{2}}{2r_{3}r_{s}}\right)\\\\ &=\arctan\left(\frac{-r_{2}\sin\theta_{2}}{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}\right) \pm \arccos\left(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}-r_{4}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{3}\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right) \end{align} $$

 

   연립방정식을 적절하게 변형해 거듭제곱하여 더하면 θ₄를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} r_{3}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right) + r_{s}\\\\ r_{3}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ \\\\ r_{3}^{2}\cos^{2}\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}^{2}\cos^{2}\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right) + 2r_{4}r_{s}\cos\left(\theta_{4}=\theta_{5}\right) + r_{s}^{2}\\\\ r_{3}^{2}\sin^{2}\left(\theta_{3}-\theta_{s}\right) &= r_{4}^{2}\sin^{2}\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ \\\\ r_{3}^{2} &= r_{4}^{2}+r_{s}^{2}+2r_{4}r_{s}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)\\\\ \cos\left(\theta_{4}-\theta_{s}\right)&=\frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}-r_{s}^{2}}{2r_{4}r_{s}}\\\\ \theta_{4}-\theta_{s}&=\pm\arccos\left(\frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}-r_{s}^{2}}{2r_{4}r_{s}}\right) \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \theta_{4} &= \theta_{s} \pm \arccos\left(\frac{r_{3}^{2}-r_{4}^{2}-r_{s}^{2}}{2r_{4}r_{s}}\right)\\\\ &=\arctan\left(\frac{-r_{2}\sin\theta_{2}}{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}\right) \pm \arccos\left(\frac{-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+r_{3}^{2}-r_{4}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{4}\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right) \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.05.22