기구학 | 벡터와 복소수를 이용한 대수적 위치 해석

1. 벡터와 복소수를 이용한 대수적 위치 해석

   삼각함수를 이용해 링크들의 위치를 대수적으로 나타내는 방법 외에, 벡터와 복소수를 이용해 나타내는 방법도 있다. 크기 R, 방향 θ를 가진 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R}& =R{e}^{j\theta }\\ \\ & =R\cos \theta +jR\sin \theta \end{array}$$

 

2. 예제

2.1. 슬라이더-크랭크 기구

 

슬라이더-크랭크 기구

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력각 θ₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 그림과 같이 정의한 링크 벡터를 복소수를 이용해 나타내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_2}& =r_2{e}^{j{\theta }_2}\\ \\ & =r_2\cos {\theta }_2+j{r}_2\sin {\theta }_2\\ \\ \overrightarrow{R_3}& =r_3{e}^{j{\theta }_3}\\ \\ & =r_3\cos {\theta }_3+j{r}_3\sin {\theta }_3\\ \\ \overrightarrow{R_1}& =d{e}^{j\frac{3}{2}\pi }\\ \\ & =d\cos \frac{3}{2}\pi +jd\sin \frac{3}{2}\pi \\ \\ & =-jd\\ \\ \overrightarrow{R_4}& =r_4{e}^{j0}\\ \\ & =r_4\end{array}$$

 

   위 그림과 같은 벡터에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{R_2}+\overrightarrow{R_3}=\overrightarrow{R_1}+\overrightarrow{R_4}\\ \\ & (r_2\cos {\theta }_2+r_3\cos {\theta }_3)+j(r_2\sin {\theta }_2+r_3\sin {\theta }_3)=r_4-jd\end{array}$$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_2\cos {\theta }_2+r_3\cos {\theta }_3& =r_4\\ \\ r_2\sin {\theta }_2+r_3\sin {\theta }_3& =-d\end{array}$$

 

   위 연립방정식으로부터 θ₃를 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\sin {\theta }_3& =\frac{-r_2\sin {\theta }_2-d}{r_3}\\ \\ {\theta }_3& =\arcsin \left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2-d}{r_3}\right)\end{array}$$

 

   위 연립방정식으로부터  r₄를 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_4& =r_2\cos {\theta }_2+r_3\cos (\arcsin \left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2-d}{r_3}\right))\\ \\ & =r_2\cos {\theta }_2+r_3\sqrt{1-{\left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2-d}{r_3}\right)}^2}\end{array}$$

 

2.2. 크랭크-로커 기구

 

크랭크-로커 기구

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력각 θ₂이 주어졌다고 가정하자. 그림과 같이 정의한 링크 벡터를 복소수를 이용해 나타내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_2}& =r_2{e}^{j{\theta }_2}\\ \\ \overrightarrow{R_3}& =r_3{e}^{j{\theta }_3}\\ \\ \overrightarrow{R_1}& =r_1{e}^{j0}\\ \\ & =r_1\\ \\ \overrightarrow{R_4}& =r_4{e}^{j{\theta }_4}\\ \\ \overrightarrow{R_s}& =r_s{e}^{j{\theta }_s}\end{array}$$

 

   위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R_s에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_1}-\overrightarrow{R_2}& =\overrightarrow{R_s}\\ \\ r_1-r_2{e}^{j{\theta }_2}& =r_s{e}^{j{\theta }_s}\\ \end{array}$$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_1-r_2\cos {\theta }_2& =r_s\cos {\theta }_s\\ \\ -r_2\sin {\theta }_2& =r_s\sin {\theta }_s\end{array}$$

 

   연립방정식을 거듭제곱하여 더하면 r_s를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_1^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2+r_2^2{\cos }^2{\theta }_2& =r_s^2{\cos }^2{\theta }_s\\ \\ r_2^2{\sin }^2{\theta }_2& =r_s^2{\sin }^2{\theta }_s\\ \\ \\ \\ r_1^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2+r_2^2({\cos }^2{\theta }_2+{\sin }^2{\theta }_2)& =r_s^2({\cos }^2{\theta }_s+{\sin }^2{\theta }_s)\\ \\ r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2& =r_s^2\end{array}$$

 

$$\begin{array}{r}{r}_s=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2}\end{array}$$

 

   연립방정식을 나누면 θ_s를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}\frac{-r_2\sin {\theta }_2}{r_1-r_2\cos {\theta }_2}& =\frac{r_s\sin {\theta }_s}{r_s\cos {\theta }_s}\\ \\ & =\tan {\theta }_s\end{array}$$

 

$$\begin{array}{r}{\theta }_s=\arctan \left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2}{r_1-r_2\cos {\theta }_2}\right)\end{array}$$

 

   다음으로, 위 그림에서 벡터 R₃, R₄, R_s에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_3}-\overrightarrow{R_4}& =\overrightarrow{R_s}\\ \\ r_3{e}^{j{\theta }_3}-r_4{e}^{j{\theta }_4}& =r_s{e}^{j{\theta }_s}\\ \\ r_3{e}^{j({\theta }_3-{\theta }_s)}-r_4{e}^{j({\theta }_4-{\theta }_s)}& =r_s\end{array}$$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_3\cos ({\theta }_3-{\theta }_s)-r_4\cos ({\theta }_4-{\theta }_s)& =r_s\\ \\ r_3\sin ({\theta }_3-{\theta }_s)-r_4\sin ({\theta }_4-{\theta }_s)& =0\end{array}$$

 

   연립방정식을 적절하게 변형해 거듭제곱하여 더하면 θ₃을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_3\cos ({\theta }_3-{\theta }_s)-r_s& =r_4\cos ({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ r_3\sin ({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4\sin ({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ \\ \\ r_3^2{\cos }^2({\theta }_3-{\theta }_s)+r_s^2-2r_3{r}_s\cos ({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4^2{\cos }^2({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ r_3^2{\sin }^2({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4^2{\sin }^2({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ \\ \\ r_3^2+r_s^2-2r_3{r}_s\cos ({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4^2\\ \\ \cos ({\theta }_3-{\theta }_s)& =\frac{r_3^2-r_4^2+r_s^2}{2r_3{r}_s}\\ \\ {\theta }_3-{\theta }_s& =\pm \arccos \left(\frac{r_3^2-r_4^2+r_s^2}{2r_3{r}_s}\right)\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}{\theta }_3& ={\theta }_s\pm \arccos \left(\frac{r_3^2-r_4^2+r_s^2}{2r_3{r}_s}\right)\\ \\ & =\arctan \left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2}{r_1-r_2\cos {\theta }_2}\right)\pm \arccos \left(\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2-r_4^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2}{2r_3\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2}}\right)\end{array}$$

 

   연립방정식을 적절하게 변형해 거듭제곱하여 더하면 θ₄를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{r}_3\cos ({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4\cos ({\theta }_4-{\theta }_s)+r_s\\ \\ r_3\sin ({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4\sin ({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ \\ \\ r_3^2{\cos }^2({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4^2{\cos }^2({\theta }_4-{\theta }_s)+2r_4{r}_s\cos ({\theta }_4={\theta }_5)+r_s^2\\ \\ r_3^2{\sin }^2({\theta }_3-{\theta }_s)& =r_4^2{\sin }^2({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ \\ \\ r_3^2& =r_4^2+r_s^2+2r_4{r}_s\cos ({\theta }_4-{\theta }_s)\\ \\ \cos ({\theta }_4-{\theta }_s)& =\frac{r_3^2-r_4^2-r_s^2}{2r_4{r}_s}\\ \\ {\theta }_4-{\theta }_s& =\pm \arccos \left(\frac{r_3^2-r_4^2-r_s^2}{2r_4{r}_s}\right)\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}{\theta }_4& ={\theta }_s\pm \arccos \left(\frac{r_3^2-r_4^2-r_s^2}{2r_4{r}_s}\right)\\ \\ & =\arctan \left(\frac{-r_2\sin {\theta }_2}{r_1-r_2\cos {\theta }_2}\right)\pm \arccos \left(\frac{-r_1^2-r_2^2+r_3^2-r_4^2+2r_1{r}_2\cos {\theta }_2}{2r_4\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos {\theta }_2}}\right)\end{array}$$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.05.22