기구학 | 대수적 가속도 해석

1. 대수적 가속도 해석

   슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서 입력 링크의 각속도와 각가속도가 정해지면, 나머지 링크의 가속도가 모두 결정된다. 각 링크의 가속도는 앞서 계산한 각 링크의 속도나 벡터 방정식을 시간에 대하여 미분하여 구할 수 있으므로, 가속도 해석은 언제나 위치 해석과 속도 해석이 완료되었다는 가정 하에 수행된다.

 

$$\begin{array}{r}{\alpha }_n={\dot{\omega }}_n={\ddot{\theta }}_n=\frac{d^2{\theta }_n}{d{t}^2}\end{array}$$

 

2. 예제

2.1. 슬라이더-크랭크 기구

 

슬라이더-크랭크 구조

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R₃, R₄에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_2}+\overrightarrow{R_3}& =\overrightarrow{R_1}+\overrightarrow{R_4}\\ \\ r_2{e}^{j{\theta }_2}+r_3{e}^{j{\theta }_3}& =-jd+x_{slide}\end{array}$$

 

   위 방정식을 시간에 대하여 두 번 미분하여 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{\stackrel{\cdot }{r}}_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_2{\stackrel{\cdot }{\theta }}_2{e}^{j{\theta }_2}+{\stackrel{\cdot }{r}}_3{e}^{j{\theta }_3}+j{r}_3{\stackrel{\cdot }{\theta }}_3{e}^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot }{x}}_{slide}\\ \\ j{r}_2{\omega }_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_3{\omega }_3{e}^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot }{x}}_{slide}\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}j{\stackrel{\cdot }{r}}_2{\omega }_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_2{\stackrel{\cdot }{\omega }}_2{e}^{j{\theta }_2}-r_2{\omega }_2^2{e}^{j{\theta }_2}+j{\stackrel{\cdot }{r}}_3{\omega }_3{e}^{j{\theta }_3}+j{r}_3{\stackrel{\cdot }{\omega }}_3{e}^{j{\theta }_3}-r_3{\omega }_3^2{e}^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slide}\\ \\ j{r}_2{\alpha }_2{e}^{j{\theta }_2}-r_2{\omega }_2^2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_3{\alpha }_3{e}^{j{\theta }_3}-r_3{\omega }_3^2{e}^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slide}\\ \\ (j{r}_2{\alpha }_2-r_2{\omega }_2^2)e^{j{\theta }_2}+(j{r}_3{\alpha }_3-r_3{\omega }_3^2)e^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slide}\\ \\ (j{r}_2{\alpha }_2-r_2{\omega }_2^2)(\cos {\theta }_2+j\sin {\theta }_2)+(j{r}_3{\alpha }_3-r_3{\omega }_3^2)(\cos {\theta }_3+j\sin {\theta }_3)& ={\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slide}\end{array}$$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}-r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2-r_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2-r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_3{\alpha }_3\sin {\theta }_3& ={\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slider}\\ \\ r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2-r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\alpha }_3\cos {\theta }_3-r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3& =0\end{array}$$

 

   위 연립방정식으로부터 커플러 링크의 각가속도 α₃을 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_3& =\frac{-r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3}{r_3\cos {\theta }_3}\\ \end{array}$$

 

   다음으로, 위 연립방정식으로부터 슬라이더의 가속도를 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{\stackrel{\cdot \cdot }{x}}_{slider}& =-r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2-r_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2-r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_3{\alpha }_3\sin {\theta }_3\\ \\ & =-r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2-r_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2-r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-(-r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3)\tan {\theta }_3\\ \end{array}$$

 

2.2. 크랭크-로커 기구

 

크랭크-로커 기구

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R1, R2, R3, R4에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{R_2}+\overrightarrow{R_3}& =\overrightarrow{R_1}+\overrightarrow{R_4}\\ \\ r_2{e}^{j{\theta }_2}+r_3{e}^{j{\theta }_3}& =r_1+r_4{e}^{j{\theta }_4}\end{array}$$

 

   위 방정식을 시간에 대해 두 번 미분하여 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{\stackrel{\cdot }{r}}_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_2{\stackrel{\cdot }{\theta }}_2{e}^{j{\theta }_2}+{\stackrel{\cdot }{r}}_3{e}^{j{\theta }_3}+j{r}_3{\stackrel{\cdot }{\theta }}_3{e}^{j{\theta }_3}& ={\stackrel{\cdot }{r}}_1+{\stackrel{\cdot }{r}}_4{e}^{j{\theta }_4}+j{r}_4{\stackrel{\cdot }{\theta }}_4{e}^{j{\theta }_4}\\ \\ j{r}_2{\omega }_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_3{\omega }_3{e}^{j{\theta }_3}& =j{r}_4{\omega }_4{e}^{j{\theta }_4}\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}& j{\stackrel{\cdot }{r}}_2{\omega }_2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_2{\stackrel{\cdot }{\omega }}_2{e}^{j{\theta }_2}-r_2{\omega }_2^2{e}^{j{\theta }_2}+j{\stackrel{\cdot }{r}}_3{\omega }_3{e}^{j{\theta }_3}+j{r}_3{\stackrel{\cdot }{\omega }}_3{e}^{j{\theta }_3}-r_3{\omega }_3^2{e}^{j{\theta }_3}\\ \\ & =j{\stackrel{\cdot }{r}}_4{\omega }_4{e}^{j{\theta }_4}+j{r}_4{\stackrel{\cdot }{\omega }}_4{e}^{j{\theta }_4}-r_4{\omega }_4^2{e}^{j{\theta }_4}\\ \\ \\ \\ & j{r}_2{\alpha }_2{e}^{j{\theta }_2}-r_2{\omega }_2^2{e}^{j{\theta }_2}+j{r}_3{\alpha }_3{e}^{j{\theta }_3}-r_3{\omega }_3^2{e}^{j{\theta }_3}\\ \\ & =j{r}_4{\alpha }_4{e}^{j{\theta }_4}-r_4{\omega }_4^2{e}^{j{\theta }_4}\\ \end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}& j{r}_2{\alpha }_2(\cos {\theta }_2+j\sin {\theta }_2)-r_2{\omega }_2^2(\cos {\theta }_2+j\sin {\theta }_2)+j{r}_3{\alpha }_3(\cos {\theta }_3+j\sin {\theta }_3)-r_3{\omega }_3^2(\cos {\theta }_3+j\sin {\theta }_3)\\ \\ & =j{r}_4{\alpha }_4(\cos {\theta }_4+j\sin {\theta }_4)-r_4{\omega }_4^2(\cos {\theta }_4+j\sin {\theta }_4)\\ \\ \\ \\ & r_2{\alpha }_2(-\sin {\theta }_2+j\cos {\theta }_2)-r_2{\omega }_2^2(\cos {\theta }_2+j\sin {\theta }_2)+r_3{\alpha }_3(-\sin {\theta }_3+j\cos {\theta }_3)-r_3{\omega }_3^2(\cos {\theta }_3+j\sin {\theta }_3)\\ \\ & =r_4{\alpha }_4(-\sin {\theta }_4+j\cos {\theta }_4)-r_4{\omega }_4^2(\cos {\theta }_4+j\sin {\theta }_4)\\ \end{array}$$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}& -r_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2-r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2-r_3{\alpha }_3\sin {\theta }_3-r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3=-r_4{\alpha }_4\sin {\theta }_4-r_4{\omega }_4^2\cos {\theta }_4\\ \\ & r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2-r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\alpha }_3\cos {\theta }_3-r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3=r_4{\alpha }_4\cos {\theta }_4-r_4{\omega }_4^2\sin {\theta }_4\\ \\ \\ \\ & -r_3{\alpha }_3\sin {\theta }_3+r_4{\alpha }_4\sin {\theta }_4=r_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\cos {\theta }_4\\ \\ & r_3{\alpha }_3\cos {\theta }_3-r_4{\alpha }_4\cos {\theta }_4=-r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\sin {\theta }_4\end{array}$$

 

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}-r_3\sin {\theta }_3& r_4\sin {\theta }_4\\ r_3\cos {\theta }_3& -r_4\cos {\theta }_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_3\\ {\alpha }_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\cos {\theta }_4\\ -r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\sin {\theta }_4\end{array}\right]\end{array}$$

 

   위 연립방정식으로부터 커플러 링크의 각가속도 α₃과 출력링크의 각가속도 α₄를 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\alpha }_3\\ {\alpha }_4\end{array}\right]& ={\left[\begin{array}{cc}-r_3\sin {\theta }_3& r_4\sin {\theta }_4\\ r_3\cos {\theta }_3& -r_4\cos {\theta }_4\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{r}_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\cos {\theta }_4\\ -r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\sin {\theta }_4\end{array}\right]\\ \\ & =\frac{1}{r_3{r}_4\sin {\theta }_3\cos {\theta }_4-r_3{r}_4\cos {\theta }_3\sin {\theta }_4}\left[\begin{array}{cc}-r_4\cos {\theta }_4& -r_4\sin {\theta }_4\\ -r_3\cos {\theta }_3& -r_3\sin {\theta }_3\end{array}\right]\\ \\ & \left[\begin{array}{c}{r}_2{\alpha }_2\sin {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\cos {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\cos {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\cos {\theta }_4\\ -r_2{\alpha }_2\cos {\theta }_2+r_2{\omega }_2^2\sin {\theta }_2+r_3{\omega }_3^2\sin {\theta }_3-r_4{\omega }_4^2\sin {\theta }_4\end{array}\right]\\ \\ & =\frac{1}{r_3{r}_4\sin ({\theta }_3-{\theta }_4)}\left[\begin{array}{c}{r}_2{r}_4{\alpha }_2\sin ({\theta }_4-{\theta }_2)-r_2{r}_4{\omega }_2^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_2)-r_3{r}_4{\omega }_3^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_3)+r_4^2{\omega }_4^2\\ r_2{r}_3{\alpha }_2\sin ({\theta }_3-{\theta }_2)-r_2{r}_3{\omega }_2^2\cos ({\theta }_3-{\theta }_2)+r_3{r}_4{\omega }_4^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_3)-r_3^2{\omega }_3^2\end{array}\right]\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_3=\frac{r_2{\alpha }_2\sin ({\theta }_4-{\theta }_2)-r_2{\omega }_2^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_2)-r_3{\omega }_3^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_3)+r_4{\omega }_4^2}{r_3\sin ({\theta }_3-{\theta }_4)},\\ \\ \\ \\ & {\alpha }_4=\frac{r_2{\alpha }_2\sin ({\theta }_3-{\theta }_2)-r_2{\omega }_2^2\cos ({\theta }_3-{\theta }_2)+r_4{\omega }_4^2\cos ({\theta }_4-{\theta }_3)-r_3{\omega }_3^2}{r_4\sin ({\theta }_3-{\theta }_4)}\end{array}$$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.05.28

- Erdman, A. G., and Sandor, G. N. (1997). Mechanism Design: Analysis and Synthesis (Vol. 1). Prentice-Hall, Inc.