기구학 | 대수적 가속도 해석

1. 대수적 가속도 해석

   슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서 입력 링크의 각속도와 각가속도가 정해지면, 나머지 링크의 가속도가 모두 결정된다. 각 링크의 가속도는 앞서 계산한 각 링크의 속도나 벡터 방정식을 시간에 대하여 미분하여 구할 수 있으므로, 가속도 해석은 언제나 위치 해석과 속도 해석이 완료되었다는 가정 하에 수행된다.

 

$$ \begin{align} \alpha_{n}=\dot{\omega}_{n}=\ddot{\theta}_{n}=\frac{d^{2}\theta_{n}}{dt^{2}} \end{align} $$

 

2. 예제

2.1. 슬라이더-크랭크 기구

 

슬라이더-크랭크 구조

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R₃, R₄에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{2}}+\overrightarrow{R_{3}}&=\overrightarrow{R_{1}}+\overrightarrow{R_{4}}\\\\ r_{2}e^{j\theta_{2}}+r_{3}e^{j\theta_{3}}&=-jd+x_{slide} \end{align} $$

 

   위 방정식을 시간에 대하여 두 번 미분하여 정리하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overset{\cdot}{r}_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{2}\overset{\cdot }{\theta}_{2}e^{j\theta_{2}}+\overset{\cdot }{r}_{3}e^{j\theta_{3}}+jr_{3}\overset{\cdot }{\theta}_{3}e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot}{x}_{slide}\\\\ jr_{2}\omega_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{3}\omega_{3}e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot }{x}_{slide} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} j\overset{\cdot}{r}_{2}\omega_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{2}\overset{\cdot}{\omega}_{2}e^{j\theta_{2}}-r_{2}\omega_{2}^{2}e^{j\theta_{2}}+j\overset{\cdot}{r}_{3}\omega_{3}e^{j\theta_{3}}+jr_{3}\overset{\cdot}{\omega}_{3}e^{j\theta_{3}}-r_{3}\omega_{3}^{2}e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot\cdot}{x}_{slide}\\\\ jr_{2}\alpha_{2}e^{j\theta_{2}}-r_{2}\omega_{2}^{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{3}\alpha_{3}e^{j\theta_{3}}-r_{3}\omega_{3}^{2}e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot\cdot}{x}_{slide}\\\\ \left(jr_{2}\alpha_{2}-r_{2}\omega_{2}^{2}\right)e^{j\theta_{2}}+\left(jr_{3}\alpha_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\right)e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot\cdot}{x}_{slide}\\\\ \left(jr_{2}\alpha_{2}-r_{2}\omega_{2}^{2}\right)\left(\cos\theta_{2}+j\sin\theta_{2}\right)+\left(jr_{3}\alpha_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\right)\left(\cos\theta_{3}+j\sin\theta_{3}\right)&=\overset{\cdot\cdot}{x}_{slide} \end{align} $$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} -r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{3}\alpha_{3}\sin\theta_{3}&=\overset{\cdot\cdot}{x}_{slider}\\\\ r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\alpha_{3}\cos\theta_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}&=0 \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터 커플러 링크의 각가속도 α₃을 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \alpha_{3}&=\frac{-r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}}{r_{3}\cos\theta_{3}}\\\\ \end{align} $$

 

   다음으로, 위 연립방정식으로부터 슬라이더의 가속도를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overset{\cdot\cdot}{x}_{slider}&=-r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{3}\alpha_{3}\sin\theta_{3}\\\\ &=-r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-\left(-r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}\right)\tan\theta_{3}\\\\ \end{align} $$

 

2.2. 크랭크-로커 기구

 

크랭크-로커 기구

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R1, R2, R3, R4에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overrightarrow{R_{2}}+\overrightarrow{R_{3}}&=\overrightarrow{R_{1}}+\overrightarrow{R_{4}}\\\\ r_{2}e^{j\theta_{2}}+r_{3}e^{j\theta_{3}}&=r_{1}+r_{4}e^{j\theta_{4}} \end{align} $$

 

   위 방정식을 시간에 대해 두 번 미분하여 정리하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \overset{\cdot}{r}_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{2}\overset{\cdot }{\theta}_{2}e^{j\theta_{2}}+\overset{\cdot }{r}_{3}e^{j\theta_{3}}+jr_{3}\overset{\cdot }{\theta}_{3}e^{j\theta_{3}}&=\overset{\cdot}{r}_{1}+\overset{\cdot}{r}_{4}e^{j\theta_{4}}+jr_{4}\overset{\cdot }{\theta}_{4}e^{j\theta_{4}}\\\\ jr_{2}\omega_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{3}\omega_{3}e^{j\theta_{3}}&=jr_{4}\omega_{4}e^{j\theta_{4}} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} &j\overset{\cdot}{r}_{2}\omega_{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{2}\overset{\cdot}{\omega}_{2}e^{j\theta_{2}}-r_{2}\omega_{2}^{2}e^{j\theta_{2}} +j\overset{\cdot}{r}_{3}\omega_{3}e^{j\theta_{3}}+jr_{3}\overset{\cdot}{\omega}_{3}e^{j\theta_{3}}-r_{3}\omega_{3}^{2}e^{j\theta_{3}}\\\\ &=j\overset{\cdot}{r}_{4}\omega_{4}e^{j\theta_{4}}+jr_{4}\overset{\cdot}{\omega}_{4}e^{j\theta_{4}}-r_{4}\omega_{4}^{2}e^{j\theta_{4}}\\\\ \\\\ &jr_{2}\alpha_{2}e^{j\theta_{2}}-r_{2}\omega_{2}^{2}e^{j\theta_{2}}+jr_{3}\alpha_{3}e^{j\theta_{3}}-r_{3}\omega_{3}^{2}e^{j\theta_{3}}\\\\ &=jr_{4}\alpha_{4}e^{j\theta_{4}}-r_{4}\omega_{4}^{2}e^{j\theta_{4}}\\\\ \end{align} $$

 

$$ \begin{align} &jr_{2}\alpha_{2}\left(\cos\theta_{2}+j\sin\theta_{2}\right)-r_{2}\omega_{2}^{2}\left(\cos\theta_{2}+j\sin\theta_{2}\right) +jr_{3}\alpha_{3}\left(\cos\theta_{3}+j\sin\theta_{3}\right)-r_{3}\omega_{3}^{2}\left(\cos\theta_{3}+j\sin\theta_{3}\right)\\\\ &=jr_{4}\alpha_{4}\left(\cos\theta_{4}+j\sin\theta_{4}\right)-r_{4}\omega_{4}^{2}\left(\cos\theta_{4}+j\sin\theta_{4}\right)\\\\ \\\\ &r_{2}\alpha_{2}\left(-\sin\theta_{2}+j\cos\theta_{2}\right)-r_{2}\omega_{2}^{2}\left(\cos\theta_{2}+j\sin\theta_{2}\right) +r_{3}\alpha_{3}\left(-\sin\theta_{3}+j\cos\theta_{3}\right)-r_{3}\omega_{3}^{2}\left(\cos\theta_{3}+j\sin\theta_{3}\right)\\\\ &=r_{4}\alpha_{4}\left(-\sin\theta_{4}+j\cos\theta_{4}\right)-r_{4}\omega_{4}^{2}\left(\cos\theta_{4}+j\sin\theta_{4}\right)\\\\ \end{align} $$

 

   위 방정식을 실수부와 허수부로 나누어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} &-r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}-r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}-r_{3}\alpha_{3}\sin\theta_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}=-r_{4}\alpha_{4}\sin\theta_{4}-r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\theta_{4}\\\\ &r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\alpha_{3}\cos\theta_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}=r_{4}\alpha_{4}\cos\theta_{4}-r_{4}\omega_{4}^{2}\sin\theta_{4}\\\\ \\\\ &-r_{3}\alpha_{3}\sin\theta_{3}+r_{4}\alpha_{4}\sin\theta_{4}=r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\theta_{4}\\\\ &r_{3}\alpha_{3}\cos\theta_{3}-r_{4}\alpha_{4}\cos\theta_{4}=-r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\sin\theta_{4} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} -r_{3}\sin\theta_{3} & r_{4}\sin\theta_{4} \\ r_{3}\cos\theta_{3} & -r_{4}\cos\theta_{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\theta_{4} \\ -r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\sin\theta_{4} \end{bmatrix} \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터 커플러 링크의 각가속도 α₃과 출력링크의 각가속도 α₄를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -r_{3}\sin\theta_{3} & r_{4}\sin\theta_{4} \\ r_{3}\cos\theta_{3} & -r_{4}\cos\theta_{4} \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\theta_{4} \\ -r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\sin\theta_{4} \end{bmatrix}\\\\ &=\frac{1}{r_{3}r_{4}\sin\theta_{3}\cos\theta_{4}-r_{3}r_{4}\cos\theta_{3}\sin\theta_{4}} \begin{bmatrix} -r_{4}\cos\theta_{4} & -r_{4}\sin\theta_{4} \\ -r_{3}\cos\theta_{3} & -r_{3}\sin\theta_{3} \\ \end{bmatrix}\\\\ &\begin{bmatrix} r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\theta_{4} \\ -r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}+r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}-r_{4}\omega_{4}^{2}\sin\theta_{4} \end{bmatrix}\\\\ &=\frac{1}{r_{3}r_{4}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)} \begin{bmatrix} r_{2}r_{4}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{2}r_{4}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{3}r_{4}\omega_{3}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) + r_{4}^{2}\omega_{4}^{2} \\ r_{2}r_{3}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) - r_{2}r_{3}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) + r_{3}r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) - r_{3}^{2}\omega_{3}^{2} \end{bmatrix} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} &\alpha_{3} = \frac{r_{2}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) + r_{4}\omega_{4}^{2}}{r_{3}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)},\\\\ \\\\ &\alpha_{4} = \frac{r_{2}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) - r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) + r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) - r_{3}\omega_{3}^{2}}{r_{4}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)} \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.05.28

- Erdman, A. G., and Sandor, G. N. (1997). Mechanism Design: Analysis and Synthesis (Vol. 1). Prentice-Hall, Inc.