기구학 | 자유도와 그뤼블러 방정식

1. 자유도

   자유도(degree of freedom, dof)란 고정 프레임을 기준으로 링크의 모양(configuration), 즉 모든 링크의 위치를 결정하는데 필요한 입력의 개수(독립변수의 개수)를 의미한다. 기구의 자유도는 기구를 이루고 있는 모든 강체(rigid body)의 자유도 합에서, 기구를 이루고 있는 관절(joint)에 의한 독립적인 제한조건의 수를 빼면 구할 수 있으며, 식으로 표현하면 아래와 같다.

 

$$ dof=\sum \left ( freedom~of~bodies \right )-\left ( the~number~of~independent~constraints \right ) $$

 

2. 그뤼블러 방정식

   N은 지면을 포함한 강체의 수, J는 관절의 수, m은 차원에 따른 강체의 자유도, c_i는 관절에 의한 독립적인 제한조건의 수, f_i는 관절의 자유도라 할 때, 그뤼블러(Gruebler) 방정식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 이때 고려하는 기구가 2차원(planar)일 경우 m=3, 3차원(spatial)일 경우 m=6의 값을 갖는다.

 

$$ \begin{align} dof&=m\left ( N-1 \right )-\sum_{i=1}^{J}c_i\\ &=m\left ( N-1 \right )-\sum_{i=1}^{J}\left ( m-f_i \right )\\ &=m\left ( N-1 \right )-mJ+\sum_{i=1}^{J}f_i\\ &=m\left ( N-1-J \right )+\sum_{i=1}^{J}f_i \end{align} $$

 

핀 조인트로만 이루어진 2차원 기구를 가정하면 m=3, f_i=1이므로, Gruebler 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$ \begin{align} dof&=3\left ( N-1-J \right )-\sum_{i=1}^{J}1\\\\ &=3\left ( N-1 \right )-3J+J\\\\ &=3\left ( N-1 \right )-2J \end{align} $$

 

3. 예제

3.1. 3절 기구

 

3절 기구

$$ \begin{align} &N=4\\\\ &J=3\\\\ &dof=3\left ( 4-1 \right )-2×3=3 \end{align} $$

 

3.2. 4절 기구

 

4절 기구

$$ \begin{align} &N=4\\\\ &J=4\\\\ &dof=3\left ( 4-1 \right )-2×4=1 \end{align} $$

 

3.3. Watt I 6절 기구

 

Watt I 6절 기구

$$ \begin{align} &N=6\\\\ &J=7\\\\ &dof=3\left ( 6-1 \right )-2×7=1 \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- Kevin, M. L., and Frank, C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.

- Northwestern Robotics. (2017). Modern Robotics, Chapter 2.2: Degrees of Freedom of a Robot. YouTube. https://youtu.be/zI64DyaRUvQ. 2023.05.08. 

- Erdman, A. G., and Sandor, G. N. (1997). Mechanism Design: Analysis and Synthesis (Vol. 1). Prentice-Hall, Inc.