기구학 | 삼각함수를 이용한 대수적 위치 해석

1. 삼각함수를 이용한 대수적 위치 해석

   슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서는 입력 링크의 각도가 정해지면, 나머지 링크의 위치들이 모두 결정된다. 이때 삼각함수 관련 공식을 이용해 링크들의 절대각 위치를 각 링크의 길이와 입력 링크의 각도에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

 

2. 예제

 

[예시1] 슬라이더-크랭크 기구

슬라이더-크랭크 기구

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력각 θ₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 e가 주어졌다고 가정하자. 출력각 θ₃을 대수적으로 계산하여 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{2}\sin\theta_{2}+e&=r_{3}\sin\theta_{3}\\\\ \sin\theta_{3} &= \frac{r_{2}\sin\theta_{2}+e}{r_{3}}\\\\ \theta _{3} &= \arcsin\left(\frac{r_{2}\sin\theta_{2}+e}{r_{3}}\right) \end{align} $$

 

   앞서 구한 θ₃을 고려하여 크랭크축과 슬라이드 사이 너비 x_slider를 대수적으로 계산하여 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} x_{slider}&=r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\theta_{3}\\\\ &=r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\left(\arcsin\left(\frac{r_{2}\sin\theta_{2}+e}{r_{3}}\right)\right)\\\\ &=r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\sqrt{1-\left(\frac{r_{2}\sin\theta_{2}+e}{r_{3}}\right)^{2}} \end{align} $$

 

[예시2] 크랭크-로커 기구

크랭크-로커 기구(1)

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력각 θ₂이 주어졌다고 가정하자. 입력 링크의 끝점과 출력축 사이 거리를 s라 할때,  코사인 제2법칙을 이용해 s를 대수적으로 계산하여 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}\\\\ s&=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}\\\\ \end{align} $$

 

   입력 링크의 끝점과 출력축을 이어 생기는 선을 기준으로, 커플러 링크와 선 사이 각도를 α, 출력 링크와 선 사이 각도를 β, 지면과 선 사이 각도를 γ라 할 때, 앞서 구한 s를 고려하여 코사인 제2법칙을 이용해 α, β, γ를 대수적으로 계산하여 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{2}^{2}&=r_{1}^{2}+s^{2}-2r_{1}s\cos\alpha\\\\ \alpha&=\arccos\left(\frac{r_{1}^{2}+s^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}s}\right)\\\\ &=\arccos\left(\frac{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right) \end{align} $$

 

$$ \begin{align} s^{2}&=r_{3}^{2}+r_{4}^{2}-2r_{3}r_{4}\cos\beta\\\\ \beta&=\arccos\left( \frac{r_{3}^{2}+r_{4}^{2}-s^{2}}{2r_{3}r_{4}} \right )\\\\ &=\arccos \left( \frac{-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{3}r_{4}} \right) \end{align} $$

 

$$ \begin{align} r_{3}^{2}&=r_{4}^{2}+s^{2}-2r_{4}s\cos\gamma\\\\ \gamma&=\arccos\left(\frac{r_{4}^{2}+s^{2}-r_{3}^{2}}{2r_{4}s}\right)\\\\ &=\arccos\left(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{3}^{2}+r_{4}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{4}\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right) \end{align} $$

   

   앞서 구한 α, β, γ를 고려하여 커플러 링크의 각도 θ₃과 출력각 θ₄를 대수적으로 계산하여 나타내면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} when~&0\leq \theta< \pi\\\\ \theta_{3}&=\beta-\alpha\\\\ &=\arccos\left(\frac{-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{3}r_{4}}\right)-\arccos\left(\frac{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right)\\\\ \theta_{4}&=\pi-\gamma-\alpha\\\\ &=\pi-\arccos\left(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{3}^{2}+r_{4}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{4}\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right)-\arccos\left(\frac{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}} \right ) \end{align} $$

 

크랭크-로커 기구(2)

$$ \begin{align} when~&\pi\leq \theta< 2\pi\\\\ \theta_{3}&=\alpha+\beta\\\\ &=\arccos\left(\frac{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right)+\arccos\left(\frac{-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{3}r_{4}}\right)\\\\ \theta_{4}&=\pi-\left(\gamma-\alpha\right)\\\\ &=\pi-\gamma+\alpha\\\\ &=\pi-\arccos\left(\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{3}^{2}+r_{4}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}{2r_{4}\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right)+\arccos\left(\frac{r_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{2}}}\right) \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.05.22