기구학 | 운동계수를 이용한 대수적 속도/가속도 해석

1. 운동계수법

   슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서 입력 링크의 각속도와 각가속도가 정해지면, 나머지 링크의 회전 속도와 회전 가속도가 모두 결정된다. 앞서 살펴보았듯이, 기구의 벡터 방정식을 시간에 대해 미분하여 회전 속도와 회전 각속도를 구할 수 있지만, 벡터 방정식을 입력 위치변수에 대해 미분하여 구하는 방법도 있다. 출력 위치변수 θ_n을 입력 위치변수θ_i에 대해 미분한 값을 운동계수라 하며, 1차 운동계수와 2차 운동계수는 각각 다음과 같이 표기한다.

 

$$ \begin{align} \theta_{n}^{'}=\frac{d\theta_{n}}{d\theta_{i}}, \qquad \theta_{n}^{''}=\frac{d^{2}\theta_{n}}{d\theta_{i}^{2}} \end{align} $$

 

   출력링크의 각속도와 각가속도는 1차 운동계수와 2차 운동계수로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$ \begin{align} \omega_{n}&=\frac{d\theta_{n}}{dt}=\frac{d\theta_{n}}{d\theta_{i}}\frac{d\theta_{i}}{dt}\\\\ &=\theta_{n}^{'}\omega_{i}\\\\ \alpha_{n}&=\frac{d^{2}\theta_{n}}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta_{n}}{d\theta_{i}}\frac{d\theta_{i}}{dt}\right)=\frac{d^{2}\theta_{n}}{d\theta_{i}^{2}}\frac{d\theta_{i}}{dt}\frac{d\theta_{i}}{dt}+\frac{d\theta_{n}}{d\theta_{i}}\frac{d^{2}\theta_{i}}{dt^{2}}\\\\ &=\theta_{n}^{''}\omega_{i}^{2}+\theta_{n}^{'}\alpha_{i} \end{align} $$

 

2. 예제

 

[예시1] 슬라이더-크랭크 기구

 

슬라이더-크랭크 기구

   링크의 길이 r₂, r₃, 입력각 θ₂, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R₃, R₄에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\theta_{3}&=r_{4}\\\\ r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\sin\theta_{3}&=-d \end{align} $$

 

   위 연립방정식을 θ₂에 대하여 미분하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} -r_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\theta_{3}^{'}\sin\theta_{3}&=r_{4}^{'}\\\\ r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\theta_{3}^{'}\cos\theta_{3}&=0 \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터 1차 운동계수를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \theta_{3}^{'}&=-\frac{r_{2}\cos\theta_{2}}{r_{3}\cos\theta_{3}}\\\\ r_{4}^{'}&=-r_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\theta_{3}^{'}\sin\theta_{3}\\\\ &=-r_{2}\sin\theta_{2}+r_{2}\cos\theta_{2}\tan\theta_{3} \end{align} $$

 

   위 1차 운동계수로부터 커플러 링크의 각속도와 슬라이더의 속도를 각각 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \omega_{3} &= \theta_{3}^{'}\omega_{2}\\\\ &=-\frac{r_{2}\omega_{2}\cos\theta_{2}}{r_{3}\cos\theta_{3}}\\\\ \dot{x}_{slide}&=r_{4}^{'}\omega_{2}\\\\ &=-r_{2}\omega_{2}\left(\sin\theta_{2}-\cos\theta_{2}\tan\theta_{3}\right) \end{align} $$

 

   다음으로, 앞서 구한 연립방정식을 θ₂에 대하여 두 번 미분하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} -r_{2}\cos\theta_{2}-r_{3}\left\{\theta_{3}^{''}\sin\theta_{3}+\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{3}\right\}&=r_{4}^{''}\\\\ -r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\left\{\theta_{3}^{''}\cos\theta_{3}-\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{3}\right\}&=0 \end{align} $$

 

   위 연립방정식으로부터 2차 운동계수를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \theta_{3}^{''}&=\frac{r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{3}}{r_{3}\cos\theta_{3}}\\\\ r_{4}^{''}&=-r_{2}\cos\theta_{2}-r_{3}\theta_{3}^{''}\sin\theta_{3}-r_{3}\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{3} \end{align} $$

 

   위 2차 운동계수로부터 커플러 링크의 각가속도와 슬라이더의 가속도를 각각 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \alpha_{3}&=\theta_{3}^{''}\omega_{2}^{2}+\theta_{3}^{'}\alpha_{2}\\\\ &=\frac{r_{2}\omega_{2}^{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\omega_{3}^{2}\sin\theta_{3}-r_{2}\alpha_{2}\cos\theta_{2}}{r_{3}\cos\theta_{3}}\\\\ \ddot{x}_{slider}&=r_{4}^{''}\omega_{2}^{2}+r_{4}^{'}\alpha_{2}\\\\ &=-r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\theta_{2}-r_{2}\alpha_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\alpha_{3}\sin\theta_{3}-r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\theta_{3} \end{align} $$

 

[예시2] 크랭크-로커 기구

 

크랭크-로커 기구

   입력축과 출력축 사이 거리 r₁, 링크의 길이 r₂, r₃, r₄, 입력각 θ₂, 입력링크의 각속도 ω₂, 입력링크의 각가속도 α₂가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R₁, R₂, R₃, R₄에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내어 연립방정식을 구성하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\cos\theta_{3}-r_{1}-r_{4}\cos\theta_{4}&=0\\\\ r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\sin\theta_{3}-r_{4}\sin\theta_{4}&=0 \end{align} $$

 

   위 연립방정식을 θ₂에 대하여 미분하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} -r_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\theta_{3}^{'}\sin\theta_{3}+r_{4}\theta_{4}^{'}\sin\theta_{4}&=0\\\\ r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\theta_{3}^{'}\cos\theta_{3}-r_{4}\theta_{4}^{'}\cos\theta_{4}&=0\\\\ \\\\ \begin{bmatrix} -r_{3}\sin\theta_{3} & r_{4}\sin\theta_{4} \\ r_{3}\cos\theta_{3} & -r_{4}\cos\theta_{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{3}^{'} \\ \theta_{4}^{'} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_{2}\sin\theta_{2} \\ -r_{2}\cos\theta_{2} \end{bmatrix} \end{align} $$

 

   위 행렬식으로부터 1차 운동계수를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \theta_{3}^{'}=\frac{r_{2}\sin\left(\theta_{2}-\theta_{4}\right)}{r_{3}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)}, \qquad \theta_{4}^{'}=\frac{r_{2}\sin\left(\theta_{2}-\theta_{3}\right)}{r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)} \end{align} $$

 

   위 1차 운동계수로부터 커플러 링크와 출력링크의 각속도를 각각 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \omega_{3} &= \theta_{3}^{'}\omega_{2}\\\\ &=\frac{r_{2}\omega_{2}\sin\left(\theta_{2}-\theta_{4}\right)}{r_{3}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)}\\\\ \omega_{4} &= \theta_{4}^{'}\omega_{2}\\\\ &=\frac{r_{2}\omega_{2}\sin\left(\theta_{2}-\theta_{3}\right)}{r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)} \end{align} $$

 

   다음으로, 앞서 구한 연립방정식 을 θ2에 대하여 두 번 미분하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} -r_{2}\cos\theta_{2}-r_{3}\left\{\theta_{3}^{''}\sin\theta_{3}+\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{3}\right\}+r_{4}\left\{\theta_{4}^{''}\sin\theta_{4}+\left(\theta_{4}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{4}\right\}&=0\\\\ -r_{2}\sin\theta_{2}-r_{3}\left\{\theta_{3}^{''}\cos\theta_{3}+\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{3}\right\}+r_{4}\left\{\theta_{4}^{''}\cos\theta_{4}+\left(\theta_{4}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{4}\right\}&=0\\\\ \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} -r_{3}\sin\theta_{3} & r_{4}\sin\theta_{4} \\ r_{3}\cos\theta_{3} & -r_{4}\cos\theta_{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_{3}^{''} \\ \theta_{4}^{''} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} r_{2}\cos\theta_{2}+r_{3}\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{3}-r_{4}\left(\theta_{4}^{'}\right)^{2}\cos\theta_{4} \\ r_{2}\sin\theta_{2}+r_{3}\left(\theta_{3}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{3}-r_{4}\left(\theta_{4}^{'}\right)^{2}\sin\theta_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \end{bmatrix} \end{align} $$

 

   위 행렬식으로부터 2차 운동계수를 구하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \theta_{3}^{''}=\frac{B_{1}\cos\theta_{4}+B_{2}\sin\theta_{4}}{r_{3}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)}, \qquad \theta_{4}^{''}=\frac{B_{1}\cos\theta_{3}+B_{2}\sin\theta_{3}}{r_{4}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)} \end{align} $$

 

   위 2차 운동계수로부터 커플러 링크와 출력링크의 각가속도를 각각 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \alpha_{3}&=\theta_{3}^{''}\omega_{2}^{2}+\theta_{3}^{'}\alpha_{2}\\\\ &=\frac{r_{2}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{2}\right) - r_{3}\omega_{3}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) + r_{4}\omega_{4}^{2}}{r_{3}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}\\\\ \alpha_{4}&=\theta_{4}^{''}\omega_{2}^{2}+\theta_{4}^{'}\alpha_{2}\\\\ &=\frac{r_{2}\alpha_{2}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) - r_{2}\omega_{2}^{2}\cos\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right) + r_{4}\omega_{4}^{2}\cos\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right) - r_{3}\omega_{3}^{2}}{r_{4}\sin\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)} \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌

- 유홍희. (2014). 기구학. KOCW. http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=a86afecc7d028380. 2023.06.08

- Uicker, J. J., Pennock, G. R., Shigley, J. E., & Mccarthy, J. M. (2003). Theory of machines and mechanisms (Vol. 768). New York: Oxford University Press.