최적설계 | 설계문제 정식화

1. 설계문제 정식화

설계문제 정식화

   설계를 최적화하기 위해서는 설계문제와 제한조건을 수학적으로 정의하여 정식화(formulation)할 필요가 있다. 이때 정식화가 얼마나 합리적인지에 따라 최적해의 좋고 나쁨이 좌우되므로 설계문제를 적절하게 정식화하는 것이 중요하다. 설계문제의 정식화는 최적화하고자 하는 설계문제를 설정한 이후 ▲설계변수 정의, ▲목적함수 정의, ▲제약조건 정의 단계를 거친다. 액체 355mL를 담을 원기둥 형태의 캔을 설계하고 최적화하는 예시를 단계별로 알아보자.

 

2. 설계변수 정의

설계변수 정의

   설계문제를 구성하는 설계변수는 서로 독립적이어야 한다. 그렇지 않다면 변수 사이에 제약조건을 정의해야 한다. 독립적인 설계변수의 개수를 설계자유도(design degrees of freedom)라 한다. 설계문제를 처음 정식화할 때는 가능한 한 많은 설계변수를 정의하는 것이 좋다. 최적해를 찾는 과정에서 설계변수의 중요도를 고려하여 상대적으로 중요도가 낮은 설계변수에 고정값을 부여함으로써 추후에 설계변수에서 제외할 수 있다. 원기둥 형태의 캔을 설계하는 경우에는 캔의 직경(D)과 높이(H)가 설계변수이다.

 

3. 목적함수 정의

   하나의 설계문제에 대해 다양한 해답이 존재할 수 있지만, 세부 목적에 따라 더 나은 해답이 결정될 수 있다. 이 세부 목적은 설계를 비교하고 평가하기 위한 기준이 되며, 이 기준을 목적함수(objective function)라 한다. 목적함수는 설계변수로 구성된 스칼라 함수여야 하며, 최적화를 위해 문제의 요구사항에 따라 최대화 또는 최소화된다. 비용, 이윤, 밀도, 에너지 소비량, 승차감 등이 목적함수의 예가 되겠다. 캔을 제작하는 데 사용하는 재료의 양을 최소화하는 것이 합리적이므로, 해당 설계에서 목적함수는 캔의 표면적(S)이 되겠다.

 

$$ S=\pi D H + 2 \left ( \frac{\pi}{4} D^2 \right ) $$

 

4. 제약조건 정의

   설계변수와 목적함수가 정의되었다면 현실적인 조건을 따져봐야 한다. 주어진 설계·제조 환경에 따라 설계에 제한 사항이 발생할 수 있는데, 이를 제약조건(constraints)이라 한다. 제약조건은 앞서 정의한 설계변수 또는 목적함수에 대한 등호식이나 부등호식으로 표현할 수 있다. 이때 제약조건이 너무 많거나 제약조건들 사이에 일관성이 없으면 최적해가 존재하지 않을 수 있으므로 최적해를 찾아가는 과정에서 적절하게 조정할 필요가 있다. 캔의 첫 번째 제약조건은 부피가 355mL 이상이어야 한다는 것이다. 제작과 유통 문제를 고려하여 캔의 직경을 3.5 cm 이상 8 cm 이하로 하고, 캔의 높이를 8 cm 이상 18 cm 이하로 제한한다면 해당 설계의 제약조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$ \begin{align} \frac{\pi}{4}D^{2}H &\geq 355~cm^3 \\\\ 3.5~cm \leq D &\leq 8~cm \\\\ 8~cm \leq H &\leq 18~cm \end{align}$$

 

5. 일반 설계 최적화 모형

   목적함수를 최대화하거나 최소화하는 등 설계 의도에 따라 다양한 설계 최적화 모형이 정의될 수 있겠지만, 추후에 다룰 최적화 방법론은 일반 설계 최적화 모형을 따른다. 모든 설계 최적화 모형은 아래와 같이 ①설계변수벡터, ②목적함수, ③등호제약조건, ④부등호제약조건으로 일반화할 수 있으며, 목적함수 최소화를 목표로 한다. 

 

$$ \begin{align} ①&~~\mathbf{x} = \left ( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right ) \\\\ ②&~~f\left ( \mathbf{x} \right ) = f\left ( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right ) \\\\ ③&~~h_i\left ( \mathbf{x} \right ) = 0;~~~~i=1~to~p \\\\ ④&~~g_i\left ( \mathbf{x} \right ) \leq 0;~~~~i=1~to~m \end{align}$$

 

 

 

참고문헌

- Arora, J. S. (2016). Introduction to optimum design. Elsevier.