최적설계 | 부등호제약조건 문제

1. 부등호제약조건 문제

   이번에는 부등호제약조건을 고려한 국소적 최소점의 후보군을 찾는 문제를 살펴보자. 아래와 같은 제약조건을 포함한 최적화 문제를 고려해보자. 부등호제약조건은 국소적 최소점이 경계선 위에 있는 활성 상태, 혹은 허용 범위 내에 있는 만족 상태일 수 있다. 부등호제약조건을 포함한 최적화 문제를 풀 때에는 국소적 최소점 후보군을 찾는 것 외에도 부등호제약조건의 상태가 활성인지 만족인지 파악하는 것 또한 염두에 두어야 한다.
 

$$ \begin{align} f\left ( \mathbf{x} \right ) &= f\left ( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right )\\\\ g_j\left ( \mathbf{x} \right ) &\leq 0;~~~~j=1~to~m\\\\ \end{align}$$

 

2. 완화변수

   완화변수라고 불리는 새로운 변수의 제곱을 제약조건에 추가하여 부등호제약조건을 아래와 같은 등호제약조건으로 변환할 수 있다. 이때 완화변수는 어떠한 실수값을 가진다. 이러한 표현은 부등호제약조건을 포함한 최적화 문제를 라그랑주 함수로 표현할 때 사용되며, 최적점 후보군이 되기 위한 필요조건을 유도하는 데 사용된다.
 

$$ \begin{align} g_j\left ( \mathbf{x} \right )+s_{j}^{2}=0 \end{align}$$

 
   완화변수의 제곱이 가지는 값이 어떤지에 따라 해당 부등호제약조건이 어떤 상태인지 알 수 있다.

• s² = 0, 해당 제약조건은 활성이다. 즉, 부등호제약조건이 0과 같다.
• s² > 0, 해당 제약조건은 만족이다. 즉, 부등호제약조건은 0보다 작다.
• s² < 0, 해당 제약조건은 위배되므로 불용이다.

 

3. 라그랑주 승수

   부등호제약조건을 포함한 라그랑주 함수를 나타내려면 해당 제약조건을 위한 라그랑주 승수와, 해당 승수에 대한 제약조건을 아래와 같이 추가해야 한다. 아래 라그랑주 승수는 부등호제약조건 앞에 계수로 작용하며, 이들의 값은 음수가 아니어야 한다. 이는 부호에 제한이 없는 등호제약조건의 경우와 상반된다. 만약 부등호제악조건이 만족이면 해당 라그랑주 승수는 0이다. 만약 부등호제약조건이 활성이면 해당 라그랑주 승수는 양수이다.
 

$$ \begin{align} u_j \geq 0 \end{align}$$

 
   부등호제약조건을 가진 최적화 문제는 다음과 같은 라그랑주 함수로 나타낼 수 있다.
 

$$ \begin{align} L\left ( \textbf{x},\textbf{u},\textbf{s} \right ) &= f\left ( \textbf{x} \right)+\sum_{j=1}^{m}u_{j} \left[ g_{j}\left ( \textbf{x} \right )+s_{j}^{2} \right]\\\\ &=f\left ( \textbf{x} \right ) + \textbf{u}^{T} \left[ \mathbf{g}\left ( \textbf{x} \right ) + \mathbf{s}^{2} \right] \end{align}$$

 
   라그랑주 함수를 이용해 국소적 최소점 후보군이 되기 위한 필요조건을 표현하면 다음과 같다.
 

$$ \begin{align} \triangledown L \left ( \mathbf{x^*}, \mathbf{u^*}, \mathbf{s^*} \right )=0 \end{align}$$

 

$$ \begin{align} \frac{\partial L \left ( \mathbf{x^*}, \mathbf{u^*}, \mathbf{s^*} \right )}{\partial x_i}&=0;~~~~i=1~to~n\\\\ \frac{\partial L \left ( \mathbf{x^*}, \mathbf{u^*}, \mathbf{s^*} \right )}{\partial u_j}&=0;~~~~j=1~to~m\\\\ \frac{\partial L \left ( \mathbf{x^*}, \mathbf{u^*}, \mathbf{s^*} \right )}{\partial s_j}&=0;~~~~j=1~to~m\\\\ \end{align}$$

 

4. 예제

부등호제약조건

   부등호제약조건을 고려하여 아래 목적함수의 후보 최소점을 찾아보자.
 

$$ \begin{align} &f\left ( \textbf{x} \right ) = \left( x_{1}-1.5 \right)^2 + \left( x_{2}-1.5 \right)^2\\\\ &g\left ( \mathbf{x} \right ) = x_{1}+x_{2}-2 \leq 0 \end{align}$$

 
   위 최적화 문제를 라그랑주 함수 형태로 표현하면 다음과 같다.
 

$$ \begin{align} L\left ( \textbf{x},\textbf{u},\textbf{s} \right ) &= f\left( \textbf{x} \right)+u\left[g\left( \textbf{x} \right)+s^2\right]\\\\ &=\left( x_{1}-1.5 \right)^2 + \left( x_{2}-1.5 \right)^2 + u \left( x_{1}+x_{2}-2+s^2 \right) \end{align}$$

 
   목적함수가 국소적 최소를 가진다면 한 설계변수벡터와 라그랑지 승수에 대해서 라그랑주 함수의 도함수가 0이어야 한다. 라그랑주 함수의 도함수를 계산하고 연립방정식을 풀면 다음과 같다.
 

$$ \begin{align} \triangledown L\left ( \mathbf{x^*}, \mathbf{u^*}, \mathbf{s^*} \right )= \begin{bmatrix} 2\left(x_{1}-1.5\right)+u \\ 2\left(x_{2}-1.5\right)+u \\ x_{1}+x_{2}-2+s^2 \\ 2us \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} $$

 

$$ \begin{align} 2\left(x_{1}+x_{2}-3\right)+2u &= 0 \\\\ x_{1}+x_{2}-2+s^{2} &= 0 \\\\ 2us&=0 \\\\ \\\\ -1+u-s^{2} &= 0 \\\\ 2us &= 0 \\\\ \\\\ 2s\left(s^{2}+1\right) &= 0 \end{align} $$

 

$$ \begin{align} \therefore~u^{*}=1,~~~~s^{*}=0,~~~~x_{1}^{*}=1,~~~~x_{2}^{*}=1 \end{align} $$

 

 

 

 

 

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참고문헌
- Arora, J. S. (2016). Introduction to optimum design. Elsevier.