공학
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최적설계 | 카루시-쿤-터커 KKT 최적성 조건(2)Engineering/Optimum Design 2024. 10. 18. 18:00
1. KKT 최적성 조건의 대안 형식 앞서 소개한 KKT 최적성 조건에서 부등호제약조건을 완화변수 없이 나타내보자. 표준화된 최적화 문제를 완화변수 없이 라그랑주 함수로 나타내면 다음과 같다. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 라그랑주 함수를 이용해 국소적 최소점 후보군이 되기 위한 필요조건을 표현하면 다음과 같다. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 2. 2계 필요조건 앞서 비제약조건 문제에서 살펴보았던 것처럼, 국소적 최소점 후보군 중 어느 설계변수벡터가 국소적 최소점인지 알기 위해서는 2계 필요조건을 살펴보아야 한다. 비제약조건 문제에서 국소적 충분조건은 최적해에서 목적함수를 테일러 급수 전개했을 때, 0이 아닌 모든 변화량벡터에 대해 이차항이 양수가 되어야 한다는 것이다. 제약..
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최적설계 | 카루시-쿤-터커 KKT 최적성 조건(1)Engineering/Optimum Design 2024. 10. 11. 18:00
1. 카루시-쿤-터커 최적성 조건 카루시-쿤-터커(Karush-Kuhn-Tucker, KKT) 최적성 조건은 등호제약조건과 부등호제약조건을 가진 목적함수의 국소적 최소점 후보군을 찾기 위한 필요조건이다. 등호제약조건과 부등호제약조건을 모두 만족하는 설계변수벡터 중에서 라그랑주 함수가 국소적 최소가 되는 설계변수벡터가 있다면, 해당 설계변수벡터에 대한 라그랑주 승수 벡터가 존재한다. 우선 아래와 같이 등호제약조건과 부등호제약조건을 포함한 최적화 문제를 고려해보자. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 위와 같은 최적화 문제는 다음과 같은 라그랑주 함수로 나타낼 수 있다. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 라그랑주 함수를 이용해 국소적 최소점 후보군이 되기 위한 필요조건을 표현하면 다음과 ..
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최적설계 | 부등호제약조건 문제Engineering/Optimum Design 2024. 10. 4. 18:00
1. 부등호제약조건 문제 이번에는 부등호제약조건을 고려한 국소적 최소점의 후보군을 찾는 문제를 살펴보자. 아래와 같은 제약조건을 포함한 최적화 문제를 고려해보자. 부등호제약조건은 국소적 최소점이 경계선 위에 있는 활성 상태, 혹은 허용 범위 내에 있는 만족 상태일 수 있다. 부등호제약조건을 포함한 최적화 문제를 풀 때에는 국소적 최소점 후보군을 찾는 것 외에도 부등호제약조건의 상태가 활성인지 만족인지 파악하는 것 또한 염두에 두어야 한다. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 2. 완화변수 완화변수라고 불리는 새로운 변수의 제곱을 제약조건에 추가하여 부등호제약조건을 아래와 같은 등호제약조건으로 변환할 수 있다. 이때 완화변수는 어떠한 실수값을 가진다. 이러한 표현은 부등호제약조건을 포함한 최적화 ..
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최적설계 | 등호제약조건 문제Engineering/Optimum Design 2024. 9. 27. 18:00
1. 등호제약조건 문제 대부분의 설계 문제는 설계변수와 성능에 대한 제약조건을 포함하고 있으므로, 최적성 조건을 따질 때 제약조건을 함께 고려해야 한다. 앞서 살펴본 최적성 조건에서는 제약조건을 고려하지 않고 국소적 최소점의 후보군을 찾았지만, 이번에는 등호제약조건을 고려한 국소적 최소점의 후보군을 찾아보자. 아래와 같이 등호제약조건을 포함한 최적화 문제를 고려해보자. HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스 2. 라그랑주 승수 라그랑주 승수(lagrange multiplier)라고 불리는 스칼라값은 최적화 문제를 라그랑주 함수로 표현하였을 때 제약조건 앞에 붙는 계수로, 목적함수와 제약조건에 의해 결정된다. 만약 제약조건이 변하면 해당 제약조건 앞에 붙은 라그랑주 승수 또한 변한다. 등호제약조건이 ..
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최적설계 | 최적성 조건Engineering/Optimum Design 2024. 9. 20. 18:00
1. 최적화 접근 방법론 최적설계에서 다루는 대부분의 문제는 설계변수가 연속이고, 문제를 구성하는 모든 함수가 연속이며, 적어도 2회 연속으로 미분이 가능하다는 것을 전제로 한다. 이러한 제약조건 및 비제약조건 최적화 문제에 접근하는 방법은 크게 최적성 기준법(optimality criteria methods)과 탐색법(search methods)으로 나눌 수 있는데, 최적성 기준법은 최적점에서 만족해야 하는 조건들을 확인하여 최적점인지 아닌지를 수학적으로 판별하는 방법이다. 탐색법은 시작 설계를 기준으로 설계 공간을 수치적으로 탐색하여 최적 설계를 찾아가는 방법이지만, 탐색법 또한 최적성 기준법에서 이용하는 원리를 기반으로 동작하므로 최적성 조건에 대한 이해가 필요하다. 2. 전역적 최소와 국소..
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최적설계 | 설계문제 정식화Engineering/Optimum Design 2024. 9. 13. 18:00
1. 설계문제 정식화 설계를 최적화하기 위해서는 설계문제와 제한조건을 수학적으로 정의하여 정식화(formulation)할 필요가 있다. 이때 정식화가 얼마나 합리적인지에 따라 최적해의 좋고 나쁨이 좌우되므로 설계문제를 적절하게 정식화하는 것이 중요하다. 설계문제의 정식화는 최적화하고자 하는 설계문제를 설정한 이후 ▲설계변수 정의, ▲목적함수 정의, ▲제약조건 정의 단계를 거친다. 액체 355mL를 담을 원기둥 형태의 캔을 설계하고 최적화하는 예시를 단계별로 알아보자. 2. 설계변수 정의 설계문제를 구성하는 설계변수는 서로 독립적이어야 한다. 그렇지 않다면 변수 사이에 제약조건을 정의해야 한다. 독립적인 설계변수의 개수를 설계자유도(design degrees of freedom)라 한다. 설계문제를..
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기구학 | 운동계수를 이용한 대수적 속도/가속도 해석Engineering/Mechanism 2023. 6. 23. 18:00
1. 운동계수법 슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서 입력 링크의 각속도와 각가속도가 정해지면, 나머지 링크의 회전 속도와 회전 가속도가 모두 결정된다. 앞서 살펴보았듯이, 기구의 벡터 방정식을 시간에 대해 미분하여 회전 속도와 회전 각속도를 구할 수 있지만, 벡터 방정식을 입력 위치변수에 대해 미분하여 구하는 방법도 있다. 출력 위치변수 θn을 입력 위치변수θi에 대해 미분한 값을 운동계수라 하며, 1차 운동계수와 2차 운동계수는 각각 다음과 같이 표기한다. HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소스 출력링크의 각속도와 각가속도는 1차 운동계수와 2차 운동계수로부터 다음과 같이 구할 수 있다. HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소스 2. 예제 [예시1] 슬라이더-크랭크 기구 링크의 ..
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기구학 | 대수적 가속도 해석Engineering/Mechanism 2023. 6. 16. 18:00
1. 대수적 가속도 해석 슬라이드-크랭크 기구나 4절 기구와 같은 1자유도의 기구에서 입력 링크의 각속도와 각가속도가 정해지면, 나머지 링크의 가속도가 모두 결정된다. 각 링크의 가속도는 앞서 계산한 각 링크의 속도나 벡터 방정식을 시간에 대하여 미분하여 구할 수 있으므로, 가속도 해석은 언제나 위치 해석과 속도 해석이 완료되었다는 가정 하에 수행된다. HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소스 2. 예제 [예시1] 슬라이더-크랭크 기구 링크의 길이 r2, r3, 입력링크의 각속도 ω2, 입력링크의 각가속도 α2, 크랭크축과 슬라이드축 사이 높이 d가 주어졌다고 가정하자. 위 그림에서 벡터 R1, R2, R3, R4에 대하여 벡터 방정식을 세운 뒤 풀어내면 다음과 같다. HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소..