최적설계 | 제약조건 문제 수치해법(1): 설계문제 선형화

1. 설계문제 선형화

   비선형·제약조건 최적설계문제를 수치적으로 풀이하는 것 또한 탐색방향과 이동거리를 결정한다. 그러나 제약조건을 고려하여 탐색방향과 이동거리를 결정해야 하기 때문에 최속강하법 등을 직접 적용할 수는 없다. 제약조건 문제의 수치적 방법은 현재 설계점에서 선형 테일러 급수 전개로 목적함수와 제약조건 함수를 국소적으로 선형화하여 풀이한다. 먼저 현재 설계점에 대하여 목적함수를 국소적으로 선형화하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} f\left( \textbf{x}^{\left(k\right)}+ \Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \right) \cong f\left( \textbf{x}^{\left(k\right)} \right)+ \bigtriangledown f^T\left(\textbf{x}^{\left(k\right)}\right)\Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \end{align}$$

 

   현재 설계점에 대하여 등호제약조건과 부등호제약조건을 국소적으로 선형화하면 아래와 같다. 테일러 급수 전개에 의해 선형화된 문제는 설계점에 따라 다르다는 것에 유의하자.

 

$$ \begin{align} h_j\left( \textbf{x}^{\left(k\right)}+ \Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \right) &\cong h_j\left( \textbf{x}^{\left(k\right)} \right)+ \bigtriangledown h_j^T\left(\textbf{x}^{\left(k\right)}\right)\Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \\\\ &= 0;~~~~j=1~to~p \\\\ g_j\left( \textbf{x}^{\left(k\right)}+ \Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \right) &\cong g_j\left( \textbf{x}^{\left(k\right)} \right)+ \bigtriangledown g_j^T\left(\textbf{x}^{\left(k\right)}\right)\Delta \textbf{x}^{\left(k\right)} \\\\ &\leq 0;~~~~j=1~to~m \end{align}$$

 

   앞으로 비선형·제약조건 최적설계문제를 선형화하여 나타낼 때는 다음과 같은 표기법을 따르기로 한다.

 

$$ \begin{align} f\left(\mathbf{x}\right) &\cong f\left(\mathbf{x}_0\right) + \bigtriangledown f^T\left(\mathbf{x}_0\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \\\\ &= f\left(\mathbf{x}_0\right) + \mathbf{c}^T \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \end{align}$$

 

$$ \begin{align} \mathbf{h} \left(\mathbf{x}\right) &\cong \mathbf{h}\left(\mathbf{x}_0\right) + \bigtriangledown \mathbf{h}^T \left(\mathbf{x}_0\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \\\\ &= \mathbf{h}\left(\mathbf{x}_0\right) + \mathbf{N}^T \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \\\\ &= 0 \\\\ \mathbf{g} \left(\mathbf{x}\right) &\cong \mathbf{g} \left(\mathbf{x}_0\right) + \bigtriangledown \mathbf{g}^T \left(\mathbf{x}_0\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \\\\ &= \mathbf{g} \left(\mathbf{x}_0\right) + \mathbf{A}^T \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right) \\\\ &\leq 0 \\\\ \end{align}$$

 

2. 예제

비선형 제약조건 문제

   아래에 주어진 비선형·제약조건 최적설계 문제를 현재 설계점 (1, 1)에 대해서 선형화하여 나타내보자.

 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = x_1^2 + x_2^2 - 3x_1x_2 \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~&g_1 = x_1^2 + x_2^2 - 6 \leq 0 \\\\ &g_2 = -x_1 \leq 0 \\\\ &g_3 = -x_2 \leq 0 \end{align}$$

 

   문제를 선형화하기 위해, 주어진 설계점에서 목적함수와 제약조건들의 경사도를 계산하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} \bigtriangledown f \left( 1,1 \right) &= \begin{pmatrix} 2x_1-3x_2 & 2x_2-3x_1 \\ \end{pmatrix}^T \\\\ &= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ \end{pmatrix}^T \\\\ \bigtriangledown g_1 \left( 1,1 \right) &= \begin{pmatrix} 2x_1 & 2x_2 \\ \end{pmatrix}^T \\\\ &= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ \end{pmatrix}^T \\\\ \bigtriangledown g_2 \left( 1,1 \right) &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ \end{pmatrix}^T \\\\ \bigtriangledown g_3 \left( 1,1 \right) &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \end{pmatrix}^T \end{align}$$

 

설계점 (1, 1)에서 선형화된 비선형 제약조건 문제

   주어진 설계점에서 선형 테일러 전개를 사용하여 목적함수와 제약조건들을 선형화하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align} f\left(\mathbf{x}\right) &\cong f\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) + \bigtriangledown f^T\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \\\\ &= -1 + \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-1 \\ x_2-1 \end{pmatrix} \\\\ &= -x_1-x_2+1 \end{align}$$

 

$$ \begin{align} g_1\left(\mathbf{x}\right) &\cong g_1\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) + \bigtriangledown g_1^T\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \\\\ &= -4 + \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-1 \\ x_2-1 \end{pmatrix} \\\\ &= 2x_1+2x_2-8 \\\\ g_2\left(\mathbf{x}\right) &\cong g_2\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) + \bigtriangledown g_2^T\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \\\\ &= -1 + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-1 \\ x_2-1 \end{pmatrix} \\\\ &= -x_1 \\\\ g_3\left(\mathbf{x}\right) &\cong g_3\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) + \bigtriangledown g_3^T\left(\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\left(0\right)}\right) \\\\ &= -1 + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-1 \\ x_2-1 \end{pmatrix} \\\\ &= -x_2 \end{align}$$

 

   이로써 비선형·제약조건 최적설계 문제가 설계점 (1, 1)에 대해서 선형화했을 때 다음과 같은 선형계획문제로 변형되었다.

 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = -x_1 - x_2 +1 \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~&g_1 = 2x_1 + 2x_2 - 8 \leq 0 \\\\ &g_2 = -x_1 \leq 0 \\\\ &g_3 = -x_2 \leq 0 \end{align}$$

 

 

 

 

 

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참고문헌
- Arora, J. S. (2016). Introduction to optimum design. Elsevier.