최적설계 | 파이썬 기반 이차계획문제 알고리즘 qpsolvers.solve_qp

1. qpsolvers

   qpsolvers는 파이썬 기반의 오픈소스 패키지로, 이차계획문제 풀이를 위한 다양한 알고리즘을 제공한다. 파이썬 기반의 연산 패키지인 NumPy와도 호환이 가능해 복잡하게 형식을 정의할 필요가 없어 편리하게 이용할 수 있다. 해당 패키지는 아래 명령어를 명령 프롬프트에 입력하여 설치할 수 있다. 아래 링크로 접속하면 qpsolvers 패키지에 대한 자세한 설명을 확인할 수 있다.

pip install qpsolvers

GitHub - qpsolvers/qpsolvers: Quadratic programming solvers in Python with a unified API

   qpsolvers 패키지를 성공적으로 설치했다면, 이차계획문제 풀이에 사용할 알고리즘을 추가로 설치해주어야 한다. 해당 패키지를 통해 Clarabel, CVXOPT, DAQP 등 다양한 알고리즘을 적용할 수 있는데, 사용하고자 하는 알고리즘의 이름을 포함하여 명령 프롬프트에 명령어를 입력하면 설치할 수 있다. 해당 글에서 다룰 예제에서는 CVXOPT 알고리즘을 사용하고자 하므로 명령 프롬프트에 아래와 같은 명령문을 입력하여 설치하였다. 아래 링크로 qpsolvers 패키지에서 지원하는 이차계획문제 풀이 알고리즘의 종류와 설명을 확인할 수 있다.

pip install qpsolvers[cvxopt]

Supported solvers - qpsolvers 4.7.0 documentation

 

2. qpsolvers.solve_qp

   해당 패키지가 다루는 이차계획문제는 다음과 같은 형식을 가진다. 따라서 해당 패키지를 이용해 이차계획문제를 풀고자 한다면 해당 형식을 따라 문제를 수정할 필요가 있다. 아래 형식에 맞게 가격계수 행렬과 가격계수 벡터, 부등호제약조건 행렬, 등호제약조건 행렬, 설계변수 범위 벡터를 numpy.array로 정의하여 함수에 차례대로 입력하면 알고리즘에 따라 최적화된 결과를 도출한다.
 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{P} \mathbf{x} + \mathbf{q}^T \mathbf{x} \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~ &\mathbf{G} \mathbf{x} \leq \mathbf{h} \\\\ &\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ &\mathbf{lb} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{ub} \end{align}$$

  
   아래 링크로 접속하면 해당 함수에 해당 함수에 대한 자세한 설명을 확인할 수 있다.

Quadratic programming - qpsolvers 4.7.0 documentation

 

3. 파이썬 라이브러리 설치

   qpsolver 라이브러리를 원활하게 사용하기 위해서는 몇 가지 라이브러리를 추가로 설치해야 한다. 인터넷에 연결된 상태에서 명령 프롬프트에 아래 명령어들을 하나씩 입력하는 것으로 설치할 수 있다.

pip install numpy

 

4. 예제

이차계획문제

   다음 이차계획문제를 최적화 알고리즘을 이용해 최적화해보자.
 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = \left( x_1-3 \right)^2 + \left( x_2-3 \right)^2 \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~&x_1 + x_2 \leq 4 \\\\ &x_1 - 3x_2 = 1 \\\\ &x_1 \geq 0,~~x_2 \geq 0 \end{align}$$

 
   알고리즘에서 요구하는 형식에 맞게 위 이차계획문제를 바꾸어 나타내면 다음과 같다.
 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = x_1^2 + x_2^2 -6x_1 -6x_2 \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~&x_1 + x_2 \leq 4 \\\\ &x_1 - 3x_2 = 1 \\\\ &0 \leq x_1 \leq +\infty,~~0 \leq x_2 \leq +\infty \end{align}$$

   위 이차계획문제를 행렬식으로 나타내면 다음과 같다.
 

$$ \begin{align} \mathrm{minimize}~~~~&f = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{P} \mathbf{x} + \mathbf{q}^T \mathbf{x} \\\\ \mathrm{subject~to}~~~~ &\mathbf{G} \mathbf{x} \leq \mathbf{h} \\\\ &\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ &\mathbf{lb} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{ub} \end{align}$$

 

$$ \begin{align} &\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix},~~~~ \mathbf{q} = \begin{bmatrix} -6 \\ -6 \\ \end{bmatrix}\\\\ &\mathbf{G} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix},~~~~ \mathbf{h} = \begin{bmatrix} 4 \\ \end{bmatrix}\\\\ &\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ \end{bmatrix},~~~~ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix}\\\\ &\mathbf{lb} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},~~~~ \mathbf{ub} = \begin{bmatrix} +\infty \\ +\infty \\ \end{bmatrix} \end{align}$$

 

# 라이브러리 추가
import numpy as np
from qpsolvers import solve_qp

# 이차계획문제 가격계수 행렬 및 벡터 정의
P = np.array([[2.0, 0.0], [0.0, 2.0]])
q = np.array([-6.0, -6.0])

# 선형계획문제 부등호제약조건 행렬 정의
G = np.array([1.0, 1.0])
h = np.array([4.0])

# 선형계획문제 등호제약조건 행렬 정의
A = np.array([1.0, -3.0])
b = np.array([1.0])

# 설계변수 범위 벡터 정의 
lb = np.array([0.0, 0.0])
ub = np.array([+np.inf, +np.inf])

# 이차계획문제 최적화 알고리즘
x = solve_qp(P, q, G, h, A, b, lb, ub, solver="cvxopt")

# 이차계획문제 최적 결과 출력
print(x)

 
 
 
 
 

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참고문헌
- stephane-caron. (n.d.). Quadratic Programming Solvers in Python. https://github.com/qpsolvers/qpsolvers?tab=readme-ov-file#example. 2025.05.19.